1、黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。黎曼假设断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。

2、黎曼ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式[6]

(资料图)

3、在复平面上的解析延拓。

4、之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 （否则级数不收敛）。黎曼找到了这一表达式的解析延拓（当然黎曼没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语）。运用路径积分，解析延拓后的黎曼ζ 函数可以表示为：

5、这里我们采用的是历史文献中的记号， 式中的积分实际是一个环绕正实轴进行的围道积分（即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞ ，而且离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0)，按照现代数学记号应记成：

6、其中积分路径C跟上面所述相同，环绕正实轴，可以形象地这样表示：

7、式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数s>1：Γ（s)=(s-1）！。可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。这就是黎曼ζ 函数的完整定义。

8、运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ 函数满足以下代数关系式：

9、从这个关系式中不难发现，黎曼ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数） 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零。复平面上的这种使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ 函数的零点。因此 s=-2n （n 为正整数）是黎曼ζ 函数的零点。这些零点分布有序、 性质简单， 被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zero)。除了这些平凡零点外，黎曼ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros)。

10、黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上，也即方程ζ(s)=0的解的实部都是1/2。

11、在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line（临界线）。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。

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